John Von Neumann, Oskar Morgenstern
La teoría de juegos fue gestada por el matemático húngaro John Von Neumann
(1903-1957) y por Oskar Morgenstern (1902-1976) en 1944 gracias a la publicación de su
libro “The Theory of Games Behavior”. Anteriormente los economistas Cournot y Edgeworth habían anticipado ya ciertas ideas, a las que se sumaron otras posteriores de los matemáticos Borel y Zermelo que en uno de sus trabajos (1913) muestra que juegos como el ajedrez son resolubles. Sin embargo, no fue hasta la aparición del libro de Von Neumann y Morgenstern cuando se comprendió la importancia de la teoría de juegos para estudiar las relaciones humanas.
Von Neumann y Morgenstern investigaron dos planteamientos distintos de la Teoría de
Juegos. El primero de ellos el planteamiento estratégico o no cooperativo. Este planteamiento requiere especificar detalladamente lo que los jugadores pueden y no pueden hacer durante el juego, y después buscar cada jugador una estrategia óptima.
En la segunda parte de su libro, Von Neumann y Morgenstern desarrollaron el planteamiento coalicional o cooperativo, en el que buscaron describir la conducta óptima en juegos con muchos jugadores. Puesto que éste es un problema mucho más difícil, sus resultados fueran mucho menos precisos que los alcanzados para el caso de suma cero y dos jugadores.
DEFINICIÓN
La teoría de los juegos es una rama de la matemática con aplicaciones a la economía, sociología, biología y psicología, que analiza las interacciones entre individuos que toman decisiones en una marco de incentivos formalizados (juegos). En un juego, varios agentes buscan maximizar su utilidad eligiendo determinados cursos de acción. La utilidad final obtenida por cada individuo depende de los cursos de acción escogidos por el resto de los individuos.
Por contribuciones a la teoría de juegos es una herramienta que ayuda a analizar problemas de optimización interactiva. La teoría de juegos tiene muchas aplicaciones en las ciencias sociales. La mayoría de las situaciones estudiadas por la teoría de juegos implican conflictos de intereses, estrategias y trampas. De particular interés son las situaciones en las que se puede obtener un resultado mejor cuando los agentes cooperan entre sí, que cuando los agentes intentan maximizar sólo su utilidad.
Conceptos claves
- Estrategias:
Cuando un jugador tiene en cuenta las reacciones de otros jugadores para realizar su elección, se dice que el jugador tiene una estrategia. Una estrategia es un plan de acciones completo que se lleva a cabo cuando se juega el juego. Se explicita antes de que comience el juego, y prescribe cada decisión que los agentes deben tomar durante el transcurso del juego, dada la información disponible para el agente. La estrategia puede incluir movimientos aleatorios.
- Estrategia dominante:
Una estrategia dominante es aquella elección que realiza el jugador independientemente de lo que haga el otro. En el juego representado en la matriz de arriba, la estrategia dominante para A es elegir “abajo”, mientras que la estrategia dominante para B es elegir “izquierda”. Estas estrategias dominantes dan como resultado el equilibrio de estrategias dominantes del juego. Si cada jugador tiene una estrategia dominante se puede predecir el resultado del juego.
- Juegos bipersonales de suma cero:
En un juego bipersonal de suma cero, cada uno de dos jugadores tiene que escoger entre unas acciones dictadas a cada turno, y la pérdida de cada jugador es igual al beneficio del su contrincante. La matriz de pagos de un juego bipersonal de suma cero tiene reglones etiquetados por las acciones del "jugador renglón" y columnas etiquetadas por las acciones del su contrincante, el "jugador columna." La entrada ij de la matriz es el pago que gana el jugador renglón en caso de que el jugador renglón usa acción i y el jugador columna usa acción.
- Punto de silla
Paraboloide hiperbólico
- Juegos estrictamente determinados:
Un juego es estrictamente determinado si tiene por lo menos uno punto de silla. Las siguientes declaraciones se aplican a los juegos estrictamente determinado:
I Todos los puntos de silla en un juego tienen los mismos valores de pago.
II Elegir el renglón y la columna que pasan por cualquier punto de silla de estrategias minimax para ambos jugadores. Es decir, el juego es solucionado por el uso de estas estrategias puras.
I Todos los puntos de silla en un juego tienen los mismos valores de pago.
II Elegir el renglón y la columna que pasan por cualquier punto de silla de estrategias minimax para ambos jugadores. Es decir, el juego es solucionado por el uso de estas estrategias puras.
El valor de un juego estrictamente determinado es el valor del punto de silla. Un juego justo tiene un valor igual a cero, si no, es injusto o parcial.
- Juegos no estrictamente determinados
Esta clase de juegos tiene más de una alternativa de juego por la que los jugadores podrían ganar, por lo que no están obligados a siempre jugar con la misma estrategia, no presentan un punto silla por que el número menor de todos los máximos de las columnas no es igual al número mayor de los menores de los renglones, dando como resultado un juego no estrictamente determinado.
- Juegos de Suma constante
Juegos en los que para cada combinación de estrategias, la suma de los pagos (o utilidades) a cada jugador es la misma. Todas las situaciones de intercambio que no permiten la creación o destrucción de recursos son juegos de suma constante
- Matriz de pago
Es el arreglo numérico que muestra la serie de premios o perdidas que reciben los jugadores luego de usar una estrategia determinada..
- Criterio Minimax
Estrategia que minimiza el daño de la mejor contra-estrategia del otro jugador. Es decir, una estrategia óptima según el criterio minimax es una que minimiza el daño máximo que puede hacer el contrincante.
- Criterio Maximin
Estrategias que maximiza el ingreso de las peores situaciones provocadas por el otro jugador. Es decir, conduce a la elección del mayor de los valores minimos en que pueden resultar cada estrategia.
EJEMPLOS:
1. Se tiene la siguiente matriz de pago que contiene las diferentes recompensas y pérdidas que recibirán los jugadores renglón y columna al usar las estrategias I o II. Encuentre el valor del juego
Es un juego de valor 2, en el cual el jugador renglón debe jugar la estrategia I y el jugador columna debe jugar la estrategia II. Nos encontramos frente a un juego de suma cero, pero no justo porque el jugador renglón tiene más posibilidades de ganar.
2. Veremos ahora un ejemplo que involucra estrategias dominantes
La estrategia 1 domina a la estrategia 3, por lo cual se eliminará del jugador renglón
Ahora del jugador columna, eliminaremos la estrategia 5, puesto que es dominada por las estrategias 2 y 4.
JUEGOS CON ESTRATEGIAS ALEATORIZADAS
Hasta ahora se ha supuesto que cada vez que un jugador participa en un juego utilizará la misma estrategia. Ahora se permitirá que un jugador opte por una estrategia concreta en una proporción determinada de casos, que llamaremos probabilidad.
No hay valor fijo para el juego; solo hay un valor muy probable o esperado. Aprenderemos ahora como resolver este tipo de juegos.
Ejemplo:
Para la siguiente matriz de pagos, el jugador renglón tiene una probabilidad de 3/4 de escoger la estrategia I y de 1/4 de escoger la estrategia 2. También se tiene que el jugador columna tendrá probabilidades de 1/3 y 2/3 para las estrategias I y II, respectivamente.
y finalmente es posible calcular el valor esperado:
Referencias Bibliográficas:
http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_juegos
http://www.ecpunr.com.ar/Docs/Teoria_de_Juegos%20II.pdf
Ahora bien, la estrategia 2 domina a la estrategia 3 en el caso del jugador columna, entonces procedemos a eliminar la estrategia 3 del jugador columna.
La estrategia 2 domina a la estrategia 4 para el jugador columna, así que la eliminaremos
La estrategia 6 es dominada por la estrategia 2, para el jugador columna. Se eliminará obteniendo
Ahora todas las estrategias se admiten y se ha reducido el juego
Hasta ahora se ha supuesto que cada vez que un jugador participa en un juego utilizará la misma estrategia. Ahora se permitirá que un jugador opte por una estrategia concreta en una proporción determinada de casos, que llamaremos probabilidad.
No hay valor fijo para el juego; solo hay un valor muy probable o esperado. Aprenderemos ahora como resolver este tipo de juegos.
Ejemplo:
Para la siguiente matriz de pagos, el jugador renglón tiene una probabilidad de 3/4 de escoger la estrategia I y de 1/4 de escoger la estrategia 2. También se tiene que el jugador columna tendrá probabilidades de 1/3 y 2/3 para las estrategias I y II, respectivamente.
Valor esperado por el jugador renglón si el jugador columna juega con la estrategia 1
Ve= 3*(1/2)-1*(1/2)=1
Valor esperado por el jugador renglón si el jugador columna juega con la estrategia 2
Ve= -2*(1/2)+5*(1/2)= 3/2
Ahora debemos buscar las ecuaciones de las rectas e identificar el punto en el cual se interceptan para encontrar el valor en el cual se obtienen los mejores premios
Las ecuaciones para cada valor esperado son:
igualando y despejando obtenemos los valores para p1 y p2:
Referencias Bibliográficas:
http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_juegos
http://www.ecpunr.com.ar/Docs/Teoria_de_Juegos%20II.pdf
