RESEÑA HISTÓRICA
Andrei Andreevich Markov nace en Ryazan (Rusia) el 14 de junio de 1856 y muere en San Petersburgo en 1914, se cumplen por tanto 150 años del nacimiento del creador de las cadenas de Markov, uno de los conceptos más importantes en la construcción de modelos en gran cantidad de campos que abarcan desde la sociología a la física teórica. Markov estudia en San Petersburgo y muestra un carácter fuerte que le causara problemas posteriormente con el régimen zarista y con sus colegas de la Universidad de San Petersburgo. Era mal estudiante en todo menos en matemáticas. En 1913 la dinastía Romanov, que había estado en el poder en Rusia desde 1613, celebró sus 300 años de permanencia en el mismo, él prefirió celebrar los 200 años de la ley de los grandes números tal y como había sido introducida póstumamente por J. Bernoulli en 1713.
Inició sus estudios universitarios de matemáticas en 1874 que acabó en 1878, siendo premiado con una medalla de oro al terminarlos. Realizó en la Universidad de San Petersburgo su carrera académica. Su tesis doctoral estuvo en el ámbito de la teoría de números, pero con la retirada de Chebychev, en 1883, Markov pasó a encargarse del curso sobre la teoría de la probabilidad continuando con el mismo incluso después de su retirada de la universidad en 1905. Sin duda la otra contribución importante de Markov fue la introducción del concepto de cadena de Markov, como un modelo para el estudio de variables dependientes, el cual dio lugar a una gran cantidad de investigación posterior en la teoría de los procesos estocásticos. Las páginas 319-338 de Markov (1951) contienen estos resultados, en el mismo libro puede verse también una lista completa de los trabajos de Markov y dos fotografías del mismo tomadas por su hijo.
Los trabajos sobre estadística de Markov consisten en la modelización de la alternancia entre vocales y consonantes, mediante una cadena de Markov con dos estados, de composiciones literarias en ruso, y en el estudio de los mínimos cuadrados para la obtención del teorema de Gauss-Markov. Una exposición detallada de las contribuciones de los matemáticos de la escuela de San Petersburgo puede verse en el clásico libro de Maistrov (1974) sobre la historia de la probabilidad. Justo es rendir tributo a una de los más prominentes representantes de la escuela de San Petersburgo.
Las cadenas de Markov son herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de determinados tipos de procesos estocásticos (procesos no determinísticos) a lo largo del tiempo en torno a un conjunto de estados.
Representa un sistema que varía su estado a lo largo del tiempo, siendo cada cambio una transición del sistema. Estos cambios no están predeterminados, aunque sí lo está la probabilidad del próximo
estado en función de los anteriores, siendo esta constante a lo largo del tiempo.
Conceptos claves
- Estado absorbente: Un estado absorbente se puede definir como aquel estado que no permita transición entre los otros estados restantes. Es decir, que la probabilidad, en la matriz T, de permanecer en el mismo estado a lo largo del tiempo, sea 1 (100%). Una vez que el sistema caiga en ese estado, jamás saldrá de allí.
- Matriz regular: Es aquella en la que no hay probabilidad 0 ni 1, es decir cada estado esta comunicado con los demás.
- Matriz de Transición: Matriz cuadrada con tantas filas y columnas como estados tiene el sistema. Sus elementos representan las probabilidades de que un estado (fila) permanezca en el mismo o cambie a los siguientes estados (columnas). La suma de las probabilidades por fila ha de ser igual a 1.
EJEMPLO:
A continuación, se tienen los siguientes valores iniciales para las preferencias de la población con relación a que operador celular utilizar:
Movistar: 30%
Tigo: 30%
Comcel: 40%
Si se tiene que:
a) Los individuos que están en Movistar tienen una probabilidad de 30% de quedarse en la misma operadora, una de 50% de cambiar a Tigo, y una de 20% para pasarse a Comcel.
b) Los individuos que están en Tigo tienen una probabilidad de 70% de quedarse en la misma operadora, una de 10% de cambiar a Movistar, y una de 20% para pasarse a Comcel.
c) Los individuos que están en Comcel tienen una probabilidad de 50% de quedarse en la misma
operadora, una de 30% de cambiar a Tigo, y una de 20% para pasarse a Movistar.
Se pide:
1. Halle la composición para el periodo 4
2. El estado estable
Solución:
De acuerdo a los datos se tiene la siguiente matriz de transición
Esta matriz puede ser representada además como sigue:
La matriz inicial de acuerdo a los datos suministrados es:
La fórmula general para obtener la composición en n periodos es la que sigue:
de allí que
y realizando los respectivos cálculos se obtiene que para el periodo 4 :
1)
Ahora bien, para calcular el estado estable se cuenta con dos métodos, el primero es calculando la composición cuantas veces sea necesario hasta que sea necesario y esta permanezca inmóvil.
de la tabla anterior se deduce que la matriz estable es :
El segundo método consiste en plantear un sistema de ecuaciones lineales a partir de la matriz de transición así:
o lo que es lo mismo:
Resolviendo este sistema por cualquier método se llega a la misma respuesta:
ESTADOS ABSORBENTES:
Un estado “ i ” Es absorbente, cuando la probabilidad de permanecer en ese estado es igual a 1. Es decir, cuando el sistema cae en el estado “ i ” no vuelve a salir de él.
EJEMPLO:
La empresa jurídica Harold Vega se clasifican a los empleados en subalternos, superiores y socios; el 10% de los subalternos ascienden a superiores y a un 10% se les pide que abandone la empresa, durante un año cualquiera 5% asciende a socio y a 13% se les pide que renuncie. Los abogados subalternos deben ascender a superiores para llegar a ser socios, los abogados que no se desempeñan un buen nivel no descienden de nivel.
1) Forme la matriz de transición con esos datos
2) Cuál es la probabilidad de que un abogado subalterno llegue a ser socio
3) Cuánto tiempo debería esperar permanecer en su categoría un abogado subalterno recién contratado.
4).Cuánto tiempo debería esperar permanecer en la empresa un abogado subalterno recién contratado.
Solución
1. Matriz de transición:
Como se identifica, en este caso estamos frente a dos estados absorbentes, ya que a la larga todos llegarán a ser socios o estarán obligados a renunciar.
Puede diferenciarse que parte de la matriz T es la absorbente, y que parte es la no absorbente, siendo la sección absorbente la que interactúa con los estados absorbentes del
sistema.
Denominamos A a la sección absorbente y N a la no absorbente
Y procedemos a calcular I ( matriz identidad) - N:
Posteriormente deberá calcularse la inversa de esta nueva matriz. Se utílizó el método de eliminación de Gauss:
Multiplicando esta matriz resultante por la matriz A anteriormente definida se obtendrán las probabilidades de permanencia cada estado:
Ahora bien, podremos resolver los interrogantes planteados en el problema:
2. probabilidad es 0,14
3. 5 años
4. 5+2,78 =7,78 años
Referencias bibliográficas:
