TEORÍA DE DECISIONES



La teoría de decisiones proporciona una manera útil de clasificar modelos para la toma de decisiones. Se supondrá que se ha definido el problema, que se tienen todos los datos y que se han identificado los cursos de acción alternativos. La tarea es entonces seleccionar la mejor alternativa. la teoría de decisiones dice que esta tarea de hacer una selección caerá en una de las cuatro categorías generales dependiendo de la habilidad personal para predecir las consecuencias de cada alternativa.

Existen tres situaciones :
  • DECISIONES BAJO CONDICIÓN DE CERTIDUMBRE: 
Se tiene información exacta y seguridad del comportamiento de cada una de las alternativas.
  • DECISIONES BAJO CONDICIÓN DE RIESGO:
Se tiene información exacta de las alternativas pero no se conoce con certeza su comportamiento .
  • DECISIONES BAJO CONDICIÓN DE INCERTIDUMBRE:
No se tiene información clara de las alternativas ni mucho menos se conoce su comportamiento.


Criterios Para la toma de Decisiones:
1Max-Min (Pesimista)
2. Max_Max (Optimismta)
3. Arrepentimiento Min-Max
4.Valor Esperado
5. VEIPER ( Valor Esperado Información Perfecta)




EJEMPLO:

Se tiene que el precio de venta de un periódico es de $25 y el de compra $20. El voceador de periódicos tiene la posibilidad de comprar entre 6 y 10 periódicos, y de vender de 6 a 10 diariamente, se asumirá que cada demanda es equiprobable.
A continuación la siguiente matriz de pagos, se obtiene con la siguiente ecuación









1. Criterio Maximin
Esta alternativa minimiza el riesgo y bajo este criterio se escoge la alternativa de comprar 6 periódicos.

2. Criterio Max-Max
De venderse todos los periódicos  la mejor alternativa es comprar 10 ya que genera la mayor utilidad. 

3. Arrepimiento Min-Max
Restando el valor de pago de cada columna a cada uno de sus elementos se obtiene la matriz:

segúneste criterio, comprar 6 o 7 periódicos generan el menor arrepentimiento

3. VALOR ESPERADO



Se observa que las alternativas escogidas son las mismas que se escogieron para el criterio de arrepentimiento.

3. VEIPER


Este es el máximo valor en el que se incurriría por un estudio de mercado si se hiciera necesario.


Referencias bibliográficas:

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_decisi%C3%B3n
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0191-03/intro.htm



TEORÍA DE JUEGOS

RESEÑA HISTÓRICA


John Von Neumann, Oskar Morgenstern


La teoría de juegos fue gestada por el matemático húngaro John Von Neumann
(1903-1957) y por Oskar Morgenstern (1902-1976) en 1944 gracias a la publicación de su
libro “The Theory of Games Behavior”. Anteriormente los economistas Cournot y Edgeworth habían anticipado ya ciertas ideas, a las que se sumaron otras posteriores de los matemáticos Borel y Zermelo que en uno de sus trabajos (1913) muestra que juegos como el ajedrez son resolubles. Sin embargo, no fue hasta la aparición del libro de Von Neumann y Morgenstern cuando se comprendió la importancia de la teoría de juegos para estudiar las relaciones humanas.

Von Neumann y Morgenstern investigaron dos planteamientos distintos de la Teoría de
Juegos. El primero de ellos el planteamiento estratégico o no cooperativo. Este planteamiento requiere especificar detalladamente lo que los jugadores pueden y no pueden hacer durante el juego, y después buscar cada jugador una estrategia óptima.

En la segunda parte de su libro, Von Neumann y Morgenstern desarrollaron el planteamiento coalicional o cooperativo, en el que buscaron describir la conducta óptima en juegos con muchos jugadores. Puesto que éste es un problema mucho más difícil, sus resultados fueran mucho menos precisos que los alcanzados para el caso de suma cero y dos jugadores.

DEFINICIÓN
La teoría de los juegos es una rama de la matemática con aplicaciones a la economía, sociología, biología y psicología, que analiza las interacciones entre individuos que toman decisiones en una marco de incentivos formalizados (juegos). En un juego, varios agentes buscan maximizar su utilidad eligiendo determinados cursos de acción. La utilidad final obtenida por cada individuo depende de los cursos de acción escogidos por el resto de los individuos.
Por contribuciones a la teoría de juegos es una herramienta que ayuda a analizar problemas de optimización interactiva. La teoría de juegos tiene muchas aplicaciones en las ciencias sociales. La mayoría de las situaciones estudiadas por la teoría de juegos implican conflictos de intereses, estrategias y trampas. De particular interés son las situaciones en las que se puede obtener un resultado mejor cuando los agentes cooperan entre sí, que cuando los agentes intentan maximizar sólo su utilidad.
Conceptos claves

  • Estrategias: 
Cuando un jugador tiene en cuenta las reacciones de otros jugadores para realizar su elección, se dice que el jugador tiene una estrategia. Una estrategia es un plan de acciones completo que se lleva a cabo cuando se juega el juego. Se explicita antes de que comience el juego, y prescribe cada decisión que los agentes deben tomar durante el transcurso del juego, dada la información disponible para el agente. La estrategia puede incluir movimientos aleatorios.
  • Estrategia dominante: 
Una estrategia dominante es aquella elección que realiza el jugador independientemente de lo que haga el otro. En el juego representado en la matriz de arriba, la estrategia dominante para A es elegir “abajo”, mientras que la estrategia dominante para B es elegir “izquierda”. Estas estrategias dominantes dan como resultado el equilibrio de estrategias dominantes del juego. Si cada jugador tiene una estrategia dominante se puede predecir el resultado del juego. 
  • Juegos bipersonales de suma cero:
En un juego bipersonal de suma cero, cada uno de dos jugadores tiene que escoger entre unas acciones dictadas a cada turno, y la pérdida de cada jugador es igual al beneficio del su contrincante. La matriz de pagos de un juego bipersonal de suma cero tiene reglones etiquetados por las acciones del "jugador renglón" y columnas etiquetadas por las acciones del su contrincante, el "jugador columna." La entrada ij de la matriz es el pago que gana el jugador renglón en caso de que el jugador renglón usa acción i y el jugador columna usa acción.
  • Punto de silla
Un punto de silla es un pago que es simultáneamente un mínimo de su renglón y un máximo de su columna. Para encontrar puntos de silla, encierre en círculo los mínimos de todos los renglones y meta en caja los máximas de todas las columnas. Los puntos de silla son aquellas entradas que son simultáneamente en círculo y en caja.


    Paraboloide hiperbólico

    • Juegos estrictamente determinados:
     Un juego es estrictamente determinado  si tiene por lo menos uno punto de silla. Las siguientes declaraciones se aplican a los juegos estrictamente determinado:


    I Todos los puntos de silla en un juego tienen los mismos valores de pago.
    II Elegir el renglón y la columna que pasan por cualquier punto de silla de estrategias minimax para ambos jugadores. Es decir, el juego es solucionado por el uso de estas estrategias puras.


    El valor de un juego estrictamente determinado es el valor del punto de silla. Un juego justo tiene un valor igual a cero, si no, es injusto o parcial.
    • Juegos no estrictamente determinados
    Esta clase de juegos tiene más de una alternativa de juego por la que los jugadores podrían ganar, por lo que no están obligados a siempre jugar con la misma estrategia, no presentan un punto silla por que el número menor de todos los máximos de las columnas no es igual al número mayor de los menores de los renglones, dando como resultado un juego no estrictamente determinado.
    • Juegos de Suma constante
    Juegos en los que para cada combinación de estrategias, la suma de los pagos (o utilidades) a cada jugador es la misma. Todas las situaciones de intercambio que no permiten la creación o destrucción de recursos son juegos de suma constante
    •  Matriz de pago
    Es el arreglo numérico que muestra la serie de premios o perdidas que reciben los jugadores luego de usar una estrategia determinada..
    • Criterio Minimax
    Estrategia que minimiza el daño de la mejor contra-estrategia del otro jugador. Es decir, una estrategia óptima según el criterio minimax es una que minimiza el daño máximo que puede hacer el contrincante.
    • Criterio Maximin

    Estrategias que maximiza el ingreso de las peores situaciones provocadas por el otro jugador. Es decir, conduce a la elección del mayor de los valores minimos en que pueden resultar cada estrategia.

    EJEMPLOS:
    1. Se tiene la siguiente matriz de pago que contiene las diferentes recompensas y pérdidas que recibirán los jugadores renglón y columna al usar las estrategias I o II. Encuentre el valor del juego


    Es un juego de valor 2, en el cual el jugador renglón debe jugar la estrategia I y el jugador columna debe jugar la estrategia II. Nos encontramos frente a un juego de suma cero, pero no justo porque el jugador renglón tiene más posibilidades de ganar.

    2. Veremos ahora un ejemplo que involucra estrategias dominantes



    La estrategia 1 domina a la estrategia 3, por lo cual se eliminará del  jugador renglón



    Ahora bien, la estrategia 2 domina a la estrategia 3 en el caso del jugador columna, entonces procedemos a eliminar la estrategia 3 del  jugador columna.


    Ahora del jugador columna, eliminaremos la estrategia 5, puesto que es dominada por las estrategias 2 y 4.



    La estrategia 2 domina a la estrategia 4 para el jugador columna, así que la eliminaremos

    La estrategia 6 es dominada por la estrategia 2, para el jugador columna. Se eliminará obteniendo


    Ahora todas las estrategias se admiten y se ha reducido el juego

    JUEGOS CON ESTRATEGIAS ALEATORIZADAS
    Hasta ahora se ha supuesto que cada vez que un jugador participa en un juego utilizará la misma estrategia. Ahora se permitirá que un jugador opte por una estrategia concreta en una proporción determinada de casos, que llamaremos probabilidad.


     No hay valor fijo para el juego; solo hay un valor muy probable o esperado. Aprenderemos ahora como resolver este tipo de juegos.


    Ejemplo:
    Para la siguiente matriz de pagos,  el jugador renglón tiene una probabilidad de 3/4 de escoger la estrategia I y de 1/4 de escoger la estrategia 2. También se tiene que el jugador columna tendrá probabilidades de 1/3 y 2/3 para las estrategias I y II, respectivamente.


    Valor esperado por el jugador renglón si el jugador columna juega con la estrategia 1
    Ve= 3*(1/2)-1*(1/2)=1
    Valor esperado por el jugador renglón si el jugador columna juega con la estrategia 2
    Ve= -2*(1/2)+5*(1/2)= 3/2
    Ahora  debemos buscar las ecuaciones de las rectas e identificar el punto en el cual se interceptan para encontrar el valor en el cual se obtienen los mejores premios

    Las ecuaciones para cada valor esperado son:

    igualando y despejando obtenemos los valores para p1 y p2:

    y finalmente es posible calcular el valor esperado:


     Referencias Bibliográficas: 
    http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_juegos
    http://www.ecpunr.com.ar/Docs/Teoria_de_Juegos%20II.pdf

    CADENAS DE MARKOV

    RESEÑA HISTÓRICA
    Andrei Andreevich Markov nace en Ryazan (Rusia) el 14 de junio de 1856 y muere en San Petersburgo en 1914, se cumplen por tanto 150 años del nacimiento del creador de las cadenas de Markov, uno de los conceptos más importantes en la construcción de modelos en gran cantidad de campos que abarcan desde la sociología a la física teórica. Markov estudia en San Petersburgo y muestra un carácter fuerte que le causara problemas posteriormente con el régimen zarista y con sus colegas de la Universidad de San Petersburgo. Era mal estudiante en todo menos en matemáticas. En 1913 la dinastía Romanov, que había estado en el poder en Rusia desde 1613, celebró sus 300 años de permanencia en el mismo, él prefirió celebrar los 200 años de la ley de los grandes números tal y como había sido introducida póstumamente por J. Bernoulli en 1713.
    Inició sus estudios universitarios de matemáticas en 1874 que acabó en 1878, siendo premiado con una medalla de oro al terminarlos. Realizó en la Universidad de San Petersburgo su carrera académica. Su tesis doctoral estuvo en el ámbito de la teoría de números, pero con la retirada de Chebychev, en 1883, Markov pasó a encargarse del curso sobre la teoría de la probabilidad continuando con el mismo incluso después de su retirada de la universidad en 1905. Sin duda la otra contribución importante de Markov fue la introducción del concepto de cadena de Markov, como un modelo para el estudio de variables dependientes, el cual dio lugar a una gran cantidad de investigación posterior en la teoría de los procesos estocásticos. Las páginas 319-338 de Markov (1951) contienen estos resultados, en el mismo libro puede verse también una lista completa de los trabajos de Markov y dos fotografías del mismo tomadas por su hijo.
    Los trabajos sobre estadística de Markov consisten en la modelización de la alternancia entre vocales y consonantes, mediante una cadena de Markov con dos estados, de composiciones literarias en ruso, y en el estudio de los mínimos cuadrados para la obtención del teorema de Gauss-Markov. Una exposición detallada de las contribuciones de los matemáticos de la escuela de San Petersburgo puede verse en el clásico libro de Maistrov (1974) sobre la historia de la probabilidad. Justo es rendir tributo a una de los más prominentes representantes de la escuela de San Petersburgo.
    DEFINICIÓN


    Las cadenas de Markov son herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de determinados tipos de procesos estocásticos (procesos no determinísticos) a lo largo del tiempo en torno a un conjunto de estados.
    Representa un sistema que varía su estado a lo largo del tiempo,  siendo cada cambio una transición del sistema. Estos cambios no están predeterminados, aunque sí lo está la probabilidad del próximo 
    estado en función de los anteriores, siendo esta constante a lo largo del tiempo.


    Conceptos claves


    • Estado absorbente: Un estado absorbente se puede definir como aquel estado que no permita transición entre los otros estados restantes. Es decir, que la probabilidad, en la matriz T, de permanecer en el mismo estado a lo largo del tiempo, sea 1 (100%). Una vez que el sistema caiga en ese estado, jamás saldrá de allí.
    • Matriz regular: Es aquella en la que no hay probabilidad 0 ni 1, es decir cada estado esta comunicado con los demás.
    • Matriz de Transición: Matriz cuadrada con tantas filas y columnas como estados tiene el sistema. Sus elementos representan las probabilidades de que un estado (fila) permanezca en el mismo o cambie a los siguientes estados (columnas). La suma de las probabilidades por fila ha de ser igual a 1.


    EJEMPLO:



    A continuación, se tienen los siguientes valores iniciales para las preferencias de  la población con relación a que operador celular utilizar:

    Movistar: 30%
    Tigo: 30%
    Comcel: 40%

    Si se tiene que:

    a) Los individuos que están en Movistar tienen una probabilidad de 30% de quedarse en la misma operadora, una de 50% de cambiar a Tigo, y una de 20% para pasarse a Comcel.
    b) Los individuos que están en Tigo tienen una probabilidad de 70% de quedarse en la misma operadora, una de 10% de cambiar a Movistar, y una de 20% para pasarse a Comcel.
    c) Los individuos que están en Comcel  tienen una probabilidad de 50% de quedarse en la misma 
    operadora, una de 30% de cambiar a Tigo, y una de 20% para pasarse a Movistar.


    Se pide: 
    1. Halle la composición para el periodo 4
    2. El estado estable

    Solución:
    De acuerdo a los datos se tiene la siguiente matriz de transición





    Esta matriz puede ser representada además como sigue:


    La matriz inicial de acuerdo a los datos suministrados es:




    La fórmula general para obtener la composición en n periodos es la que sigue:
    de allí  que  

    y realizando los respectivos cálculos se obtiene que para el periodo 4 :
    1)

    Ahora bien, para calcular el estado estable se cuenta con dos métodos, el primero es calculando la composición cuantas veces sea necesario hasta que sea necesario y esta permanezca inmóvil. 



    de la tabla anterior se deduce que la matriz estable es :


    El segundo método consiste en plantear un sistema de ecuaciones lineales a partir de la matriz de transición  así:

     o lo que es lo mismo:

    Resolviendo este sistema por cualquier método se llega a la misma respuesta:


    ESTADOS ABSORBENTES:
    Un estado “ i ” Es absorbente, cuando la probabilidad de permanecer en ese estado es igual a 1. Es decir, cuando el sistema cae en el estado “ i ” no vuelve a salir de él. 


    EJEMPLO:

    La empresa jurídica Harold Vega se clasifican a los empleados en subalternos, superiores y socios; el 10% de los subalternos ascienden a superiores y a un 10% se les pide que abandone la empresa, durante un año cualquiera 5% asciende a socio y a 13% se les pide que renuncie. Los abogados subalternos deben ascender a superiores para llegar a ser socios, los abogados que no se desempeñan un buen nivel no descienden de nivel.

    1) Forme la matriz de transición con esos datos
    2) Cuál es la probabilidad de que un abogado subalterno llegue a ser socio
    3) Cuánto tiempo debería esperar permanecer en su categoría un abogado subalterno recién contratado.
    4).Cuánto tiempo debería esperar permanecer en la empresa un abogado subalterno recién contratado.




    Solución
    1. Matriz de transición:
    Como se identifica, en este caso estamos frente a dos estados absorbentes, ya que a la larga todos llegarán a ser socios o estarán obligados a renunciar.

    Puede diferenciarse que parte de la matriz T es la absorbente, y que parte es la no absorbente, siendo la sección absorbente la que interactúa con los estados absorbentes del 
    sistema. 
    Denominamos A a la sección absorbente y N a la no absorbente
    Y procedemos a calcular I ( matriz identidad) - N:

    Posteriormente deberá calcularse la inversa de esta nueva matriz. Se utílizó el método de eliminación de Gauss:


    Multiplicando esta matriz resultante por la matriz A anteriormente definida se obtendrán las probabilidades de permanencia cada estado:



    Ahora bien, podremos resolver los interrogantes planteados en el problema:
     2. probabilidad es 0,14
     3.  5 años
     4.  5+2,78 =7,78 años
      
    Referencias bibliográficas:


    SISTEMA DE CONTEO CÍCLICO

    Los conteos cíclicos constituyen una técnica para levantar inventarios físicos en la cual contamos el inventario con frecuencia en lugar de una o dos veces al año. La clave de un buen conteo cíclico y, por tanto, de los registros exactos está en decidir que artículos contaremos, y cuando y quién será el encargado de hacerlo.
    Una opción para realizar un monitoreo constante con un costo razonable consiste en emplear un enfoque de Pareto: Si suponemos que la regla de Pareto se aplica a este caso, el 20% de los insumos serán responsables del 80% de las problemas por inventario. La estrategia, entonces, consiste en clasificar la importancia de cada tipo de insumo. Los más críticos se contabilizan continuamente, como parte del trabajo diario; los menos importantes se contabilizan sólo eventualmente, por ejemplo en el inventario anual, que ya resulta más simple.
    Haciendo un análisis se pueden dividir los  items en tres grupos A, B, C en orden de importancia donde A es el grupo de los poco vitales. La siguiente tabla muestra un ejemplo del ciclo que se le asigna a cada una de las categorias.

    En general el conteo cíclico dependerá del personal disponible. Algunas empresas programan al personal regular de almacén para que cuente durante ratos de su jornada laboral que no sean muy activos. Otras compañías contratan empresas privadas para que acudan a contar el inventario. Otras empresas más usan contadores de tiempo completo durante el ciclo y estos solo se encargan de contar el inventario y resolver las diferencias con los registros. Si bien este último método parecería muy caro, muchas empresas piensan que, de hecho, es menos caro que el molesto conteo anual del inventario, que se realiza normalmente cuando la empresa cierra dos o tres semanas por vacaciones anuales.
    A continuación, un link donde podrá descargar un ejemplo completo de la aplicación de conteo cíclico:
    http://www.megaupload.com/?d=X0MZQ6PS

    Referencias bibliográficas:
    http://ciiaas.org/pdf/meses/7%20abr%2008/boletin-ciiaas-7-de-abril-de-2008.pdf